Cálculo mecánico de cables

Explicación

A lo largo de los artículos hemos ido introduciendo las ecuaciones que modelan el comportamiento de los cables. Así fue como aparecieron los conceptos de catenaria y de flecha. En la práctica, saber calcular esta última es fundamental. Para ello, recordemos que teníamos la ecuación \[ f = \frac{g\lambda v^2}{8 T} \] siendo $g$ la aceleración de la gravedad (m/s^2), $\lambda$ la densidad lineal del cable (kg/m), $v$ el vano (m) y $T$ la tensión del cable (N).

Ahora bien, cuando hay viento (o incluso hielo), el peso aparente del cable cambia. La forma más cómoda de tener esto en cuenta es calcular la densidad lineal efectiva de la siguiente manera: \[ \lambda_1 = m_1 \lambda,\qquad \lambda_2 = m_2 \lambda \] Así, en la situación 1 calcularíamos la densidad efectiva $\lambda_1$ cogiendo la densidad en unas condiciones estándar ($\lambda$) y multiplicándolo por un coeficiente de sobrecarga $m_1$ que dé cuenta del efecto del viento en esa situación particular. En otra situación diferente, digamos situación 2, volveríamos a tomar el dato de la densidad lineal en condiciones estándar y multiplicaríamos por un nuevo coeficiente $m_2$ que se calcularía según las nuevas condiciones.

En la práctica, la situación 1 es la que tenemos cuando se realiza la instalación. Tenemos una temperatura (todavía no hemos dicho nada de ella), unos efectos de viento (que determinan $m_1$ y por tanto, $\lambda_1$), ponemos cierta tensión en el cable y acabaremos con una flecha: \[ f_1 = \frac{g\lambda_1 v^2}{8 T_1} = \frac{g\lambda v^2}{8 T_1} m_1 \] Lo siguiente que nos interesa es comprobar que se cumple la normativa. Esto significa que tenemos que ser capaces de calcular la flecha en otras condiciones de viento y de temperatura. Estas nuevas condiciones de viento determinan $m_2$ (y por lo tanto, $\lambda_2$) y la tensión que aparece en el cable, $T_2$, lo que nos llevaría a calcular \[ f_2 = \frac{g\lambda_2 v^2}{8 T_2} = \frac{g\lambda v^2}{8 T_2} m_2 \]

Lo único que nos queda por hacer es ver cómo determinamos los coeficientes de sobrecarga y las tensiones que aparecen.

Cálculo de m

Por la propia definición que hemos dado, es claro que: \[ m = \frac{\lambda_a}{\lambda} \] siendo $\lambda_a$ la densidad aparente. Esta se calcula sumando en forma cuadrática la contribución del viento $\lambda_v$: \[ \lambda_a = \sqrt{\lambda^2 + \lambda_v^2} = \sqrt{\lambda^2 + (Pd)^2} \] donde $P$ es la presión en kg/m$^2$ que ejerce el viento y $d$ el diámetro en metros del cable.

Cálculo de T

Esta es la parte más complicada. Esencialmente, hay que resolver lo que se conoce como ecuación de cambio de condiciones que se introduce en el artículo y que en unidades del sistema internacional toma la forma: \[ \left(\frac{T_2}{g S}\right)^2 \left[\left(\frac{T_2}{g S}\right) + A \right] = B \] siendo $T$ la incógnita a despejar, $S$ la sección en mm$^2$, y por último $A$ y $B$ unas constantes que determinan el cambio de condiciones, en concreto: \[ A = \alpha \Delta\theta \frac{E}{10^6 g} - K \] donde $\alpha$ es el coeficiente de dilatación lineal, $\Delta\theta$ es la diferencia de temperatura entre las dos condiciones consideradas, $E$ es el módulo de Young en Pascales y $K$ viene definida por: \[ K = \left(\frac{T_1}{g S}\right) - \left[v^2m_1^2 \frac{\lambda^2 E g}{24 T_1^2 10^6}\right] \] y por último: \[ B = v^2m_2^2 \frac{\lambda^2 E}{24 g 10^6 S^2} \] Por lo tanto, el camino a seguir es sencillo, con los datos de la situación inicial, se calcula $m_1$, que junto con $T_1$ sirve para calcular K, con los datos de la situación 2 y la constante K podemos calcular fácilmente $m_2$ y con ello A y B. Con todo esto, se calculan numéricamente las raices de la ecuación. Lo normal es que tengamos que repetir este proceso para todo un rango de hipóteticas temperaturas y/o vientos. En todos los casos deberíamos mirar la flecha resultante y ver que cumple la correspondiente normativa.